مقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي

توضیحات پروژه

 مقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي دارای 30 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه و مقالات آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد

بخشی از متن مقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي :

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی
11 اندازه كمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی
دانش‌آموزان اولین چیزی را كه در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است كه شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشكل می‌رسد.

با ملاحظه توابع كمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با كمانی‌هایی مواجه خواهند شد كه اندازه آن‌ها ممكن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است كه اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان كه اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یك دور دایره به 360 قسمت (درجه) یك روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول كمان‌های دایره وابسته است.

در اینجا واحد اندازه‌گیری یك رادیان است كه عبارت از اندازه یك زاویه مركزی است. این زاویه به كمانی نگاه می‌كند كه طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یك زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول كمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است كه زاویه مطروحه در آن یك زاویه مركزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا كه محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر است از اینرو طول كمان برابر رادیان خواهد بود. در نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- كمانی به اندازه یك رادیان برابر چند درجه است؟
جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:
اگر باشد آنگاه یا را خواهیم داشت.
مثال 2-1-1 كمانی به اندازه رادیان برابر چند درجه است؟
حل: اگر و باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یك كمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر كمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهمیت است. مسیر كمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حركت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیكه در جهت حركت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.
دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه كه ذكر شد چنین داریم:

3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی كه با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌كند:
(1) عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

(2) اگر باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه را به عنوان نقطه مبدا كمان AP1 در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌كنیم، نقطه مقصد این مسیر را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روی دایره مثلثاتی همراه می‌كنیم. یا به عبارت دیگر نقطه Pt تصویر نقطه A=P0 خواهد بود وقتی كه صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.
(3) اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول را مشخص می‌كنیم. فرض كنید كه Pt نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریكه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نكته را می‌رساند كه نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیكه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بك‌بیك نیست: اگر به عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون كامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.
توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt كه متناظر به این عدد است یكی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه كرد.
مثال4-1-1- همه اعداد را كه متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آورید.
حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد:

فرض می‌كنیم كه Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شكل 3). آنگاه بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود: بدین ترتیب اندازه كمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر می‌شود.
یك تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت كه بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت كه در آن به صورت یك عدد صحیح است تابع دارای یك دوره تناوب می‌شود. كوچكترین دوره تناوب مثبت یك تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.
قضیه1-1 توابع و با دوره تناوب بنیادی متناوب هستند.

قضیه 2-1 توابع و با دوره‌ تناوب بنیادی متناوب هستند.
برهان قضایای 1-1 و 1-2 را با استفاده از نمودارهای سینوس، كسینوس، تانژانت و كتانژانت، و نیز به كمك دایره مثلثاتی می‌توان بطور عادی اثبات كرد. برای اعداد حقیقی فقط یك نقطه PX روی دایره مثلثاتی متناظر است از اینرو این اعداد دارای سینوس‌ها و كسینوس‌های یكسانی هستند. در همان حال هیچ عدد مثبت كوچكتر از نمی‌تواند دوره تناوب توابع باشد. در حقیقت اگر T دوره تناوب COSx باشد آنگاه cos T=cos (0+t)=cos0=1 خواهد بود. از اینرو به عدد T نقطه Pt با مختصات (1,0) متناظر بوده و در نتیجه عدد T دارای شكل خواهد بود؛ و بدلیل مثبت بودن آن را داریم. بطریق مشابه اگر T دوره تناوب تابع sin x باشد آنگاه بوده و به عدد نقطه با مختصات (01) متناظر می‌شود. از اینرو یا یعنی را خواهیم داشت.

برای اثبات قضیه 2-1 به این نكته توجه می‌كنیم كه نقاط به ازاء t نسبت به مبدا متقارن خواهند بود (عدد نیمدور از محیط دایره مثلثاتی را نشان می‌دهد) بنابراین مختصات نقاط pt+ و pt از نظر قدر مطلق برابر بوده و دارای علائم مختلف خواهند بود. یعنی خواهیم داشت.

بنابراین دوره تناوب tan t و cot t محسوب می‌شود.
مثال 1-3-1: دوره تناوب بنیادی تابع f(t)= cos t +sin t را بیابید.
حل: بدلیل رابطه تابع / متناوب است:
هیچ عدد مثبت T كوچكتر از بدلیل

دوره تناوب تابع f(t) محسوب نمی‌شود. در حقیقت اعداد و مخالف صفر بوده و علائم مختلفی دارند و اعداد و بر هم منطبق بوده و از اینرو داریم:

2- زوج بودن و فرد بودن. بخاطر داشته باشید كه تابع f در صورتی زوج خوانده می‌شود كه به ازاء هر x حوزه تعریف آن -x نیز به آن حوزه متعلق بوده و تساوی
F(-x)=-f(x)
برقرار باشد. تابع f در صورتی فرد خوانده می‌شود كه تحت همان شرایط بالا تساوی
F(-x)=-f(x)

برقرار می‌شود. یك جفت مثال در مورد توابع زوج بصورت و یك جفت مثال در مورد توابع فرد را می‌توان بصورت ارائه داد. توجه داشته باشید كه بسیاری از توابع فرد و نه زوج هستند. به عنوان مثال تابع
بدلیل اینكه به ازاء و است روج محسوب نمی‌شود. بطریق مشابه بدلیل تابع x فرد نیز نیست.
قضیه 3-1 توابع siمقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي، taمقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي، cotx، فرد و تابع cos x زوج است.
برهان: كمان‌های APT و AP-T را در دایره مثلثاتی كه دارای جها مخالف و اندازه‌های مساوی هستند در نظر می‌گیریم (شكل 11) این كمانها نسبت به محور طول‌ها متقارن بودهخ و از اینرو نقاط انتهایی آنها یعنی PT(COSt, sin t), p-t(cos (-t), sin (-t) دارای طول‌های مساوی و عرض‌های متقابل هستند؛ یعنی: cos –(t)=cos t, sin (-t)=-sin(-t) در نتیجه تابع sint فرد و تابع cot t زوج خواهد بودد از این گذشته طبق تعریف تانژانت و كتانژانت با شرط در اینجا نیز چنین داریم:
Tan(-t)=
و با شرایط (در اینجا نیز است داریم:

بدین ترتیب توابع tan t و cot t نیز فرد محسوب می‌شوند.
مثال4-3-1 ثابت كنید تابع (t)= sin3 2t cos4t +tan 5t فرد است.
اثبات. توجه دارید كه به ازاء هر t از حوزه تعریف تابع ( یعنی با شرط .چنین داریم:

3- یكنواختی. تابع f كه دربازه x تعریف شده در صورتی در این بازه افزایشی صعودی خوانده می‌شود كه به ازاء هرگونه اعدادی مانند با شرط نامساوی برقرار باشد؛ و اگر بین این مقادیر تابع نامساوی ضعیف، یعنی برقرار باشد آنگاه تابع f در بازه x ناافزایشی خوانده می‌شود. تعریف باتع كاهشی و تابع ناكاهشی نیز بطریق مشابه قابل ارائه است. ویژگیهای افزایشی یا كاهشی بودن یك تابع یكنوای آن تابع نیز نامیده می‌شود. بازه‌ای كه در آن تابعی افزایش یا كاهش پیدا می‌كند بازه یكنوایی آن تابع خوانده می‌شود.

یكنوایی توابع sin t و cos t را مورد بررسی قرار می‌دهیم. بر روی دایره مثلثاتی و در جهت مخالف حركت عقربه‌های ساعت (یعنی در جهت مثبت) نقطه pt با حركت از نقطه A=P0 به سوی نقطه (0,1) نمو پیدا كرده و به سمت چپ تغییر مكان می‌دهد.
یعنی با افزایش T عرض نقطه نیز افزایش می‌یاید، در حالیكه طول آن كاهش می‌یابد. عوض PT مساوی SIN T از 0 تا 1 افزایش می‌یابد و تابع cos t نیز از 1 تا 0 كاهش پیدا می‌كند.
قضیه 4-1 در بازه تابع sin t از 0 تا 1 افزایش می‌یابد، در حالیكه تابع cos t از 1 تا 0 كاهش پیدا می‌كند. در بازه تابع sin t از 1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا -1 كاهش می‌یابد. در بازه تابع sin t از 0 تا -1 كاهش و تابع cos t از -1 تا 0 افزایش پیدا می‌كنند. در بازه تابع sin t از -1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا 1 افزایش می‌یابد.

برهان: استدلال این قضیه بصورت نموداری ارائه شده است. در این اشكل نقاط در صدق می‌كنند.
قضیه5-1 تابع tan t در بازه افزایش و تابع cot t در بازه كاهش می‌یابد.
برهان: تابع tan t را مورد ملاحظه قرار می‌دهیم. نشان می‌دهیم كه به ازاء هرگونه اعدادی بصورت t1 و t2 كه در صدق می‌كند نامساوی برقرار است. سه حالت مورد ملاحظه قرار می‌دهیم: آنگاه براساس قضیه 14 چنین داریم:

از اینجا نتیجه می‌شود. بنابراین خواهد بود. . در این حالت و . بوده و از اینرو
خواهد بود. طبق قضیه 14 داریم:

بنابراین یعنی حاصل می‌شود. اثبات حكم مربوط به cot t نیز بطریق مشابه انجام می‌گیرد.
مثال 5-3-1 ثابت كنید توابع sin(cos t) و cos(sin t) در بازه كاهش می‌یابند.
برهان: اگر طبق باشد آنگاه بر اساس قضیه 14 خواهد بود. توجه داریم كه نقاطی از محیط دایره مثلثاتی متناظر به اعداد sin t1, sin t2, cos t1, cos t2 در ناحیه اول قرار دارند. دلیل امر این است كه این اعداد در بازه بسته قرار داشته و است. بنابراین می‌توان مجدداً قضیه 14 را بكار گرفت كه به موجب آن به ازاء هر اعدادی مانند و با شرط نامساوی‌های زیر متقاعد می‌شوند:

یعنی sin(cos t) و cos(sin t) در بازه توابعی كاهشی هستند.
4- رابطه بین توابع مثلثاتی یك شناسه (متغیر). اگر به ازاء مقدار معینی از متغیر مثلثاتی مربوط به آن معلوم باشد تحت شرایط معینی می‌توان مقادیر دیگر توابع مثلثاتی آن متغیر را بدست آورد. با تقسیم طرفین این اتحاد بر cos2 t (با شرط ) چنین بدست می‌آید:
(110)

در این رابطه است. با استفاده از این اتحاد می‌توان مقدار tan t را محاسبه كرد با این شرط كه مقدار cos t را نیز می‌توان با معلوم بودن مقدار tan t و علامت cos t محاسبه كرد.
4-1 حل توابع مثلثاتی ساده. توابع مثلثاثی معكوس.
1 حل معادله ARE SINE. SIN T= M.
برای حل معادلاتی به شكل SIN T=M لازم است كه همه اعداد حقیقی مانند T را طوری بیاییم كه عرض نقطه pt متناظر به آنها برابر m باشد. برای انجام این كار خط مستقیم y=m را رسم كرده و نقاط تلاقی آن را با دایره مثلثاتی بدست می‌آوریم.

معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی
1-3 كلیات
برای حل معادلات مثلثاتی روش كلی وجود ندارد و در هر مورد خاص تبدیلات و فرمول‌های معینی باید بكار گرفته شود.
مثال 1-1-3 معادله زیر را حل كنید:
Siمقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي+7cosx+7=0

در نتیجه معادله زیر حاصل می‌شود:

این معادله با و در نتیجه با هم ارز است. با این چون فرمول‌های جایگذاری عمومی فقط به ازاء xهایی كه را تعریف‌پذیر می‌سازند یعنی فقط به ازاء ، كاربرد پذیراند از اینرو استدلال فوق نادرست است.
2-3 روش‌های اصلی در حل معادلات مثلثاتی
1 حل معادلات مثلثاتی از طریق تحویل آنها به معادلات جبری، این روش وسیعاً مورد استفاده قرار می‌گیرد و در آن معادله اصلی به معادله‌ای به شكل
(34)
تحویل می‌یابد. در این معادله f(x) یك چند جمله‌ای و f(t) یك تابع مثلثاتی است.
اگر x1, x2, ….,xm ریشه‌های چند جمله‌ای F یعنی اگر
F=(X1)=0, F(X2)=0,…,F(XM)=0
باشد آنگاه معادله تبدیل یافته (34) به m معادله ساده تجزیه می‌شود:

مثال1-2-3 معادله زیر را حل كنید:
Cos 2t- 5sin t-3=0
حل، طبق فرمول (239) چنین داریم:
1-2 sin2 t-5sin-3=0
یا 2 sin2t + 5sint +2=0 با منظور كردن x=sint معادله اصلی شكل جبری زیر را اختیار می‌كند: 2×2+5x+2=0
با حل این معادله x1=-1/2,x2=-2 وصول می‌یابیم. همه تبدیلات انجام گرفته وارون پذیر بوده و بنابراین معادله اصلی به دو معادله ساده بصورت زیر تجزیه می‌شود:
و
معادله دوم به دلیل فاقد جواب بوده و از اینرو sin t=-1/2 را یعنی:

را اختیار می‌كنیم
3-3-3-. حل معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی چند مجهولی.
وجود دومجهول و یا بشتر در معادلات و دستگا‌ه‌های معادلات مثلثاتی مشكلات معینی به همراه دارد. جواب یك چنین معادله یا دستگاه بصورت مجموع‌ای از مقادیر متغیرها تعریف می‌شود و از این مقادیر معادله یا هر یك از معادلات دستگاه را به یك تساوی عددی تبدیل می‌كنند. در حل معادله یا دستگاه معینی باید همه چنین مجموعه‌ها یافته شوند.

بنابراین در حل اینگونه مسائل اگر جواب هر یك از مجهولات دیگر بیان كرده و از این طریق به حذف آن از دستگاه مبادرت كنیم. روش دیگر در حل دستگاههای معادلات مثلثاتی عبارت از تحویل آن به دستگاه معادلات چیزی است كه در آن تعدادی توابع مثلثاتی به عنوان مجهولات جدید شركت می‌كنند. همچون معادلات مثلثاتی یك مجهولی، در مورد دستگاه‌ها نیز می‌توانیم تبدیلات همانندی برای تجزیه یك یا چند معادله دستگاه به معادلات ساده‌ای از نوع1- sin (x+2y)= tan (x-y)= و غیره انجام می‌دهیم.
مثال1-3-3 دستگاه معادلات زیر را حل كنید:

حل، از معادله اول دستگاه نتیجه میشود كه بوده و دو حالت در اینجا ممكن می‌گردد: اگر sin x=0 باشد آنگاه این معادله به یك اتحاد تبدیل می‌شود و اگر باشد آنگاه معادله مزبور cos y=0 را موجب می‌شود. در نتیجه دستگاه مطروحه با مجموعه دو دستگاه زیر هم ارز خواهد بود:

و

دستگاه اول فاقد جواب0) (cos 2y+2 بوده در حالیكه دستگاه دوم با دو معادله زیر هم‌ارز است:
}
در نتیجه مجموع همه جوابهای دستگاه اصلی شامل ازواج عددی مانند (x,y) بصورت زیر خواهد بود:

1-4 نمودار توابع اساسی مثلثات.
قبل از هر چیز خاطرنشان می‌سازیم كه نمودار تابع f با حوزه تعریف D(f) بصورت مجموعه‌ای از نقاط با مختصات (x,y) بر روی صفحه مختصاتی با شرط y=f(x) تعریف می‌شود. این تعریف همیشه باید در اثبات ویژگی‌های نمودار تابع و ملاحظه اعمال مربوط به رسم نمودارها مورد استناد قرار گیرد.
1 ویژگی‌ها و رسم نمودار تابع f(x)=sin x.

(1) حوزه تعریف تابع عبارت از D(f)=R و مجموعه مقادیر آن عبارت از E(f)=[-1,1] است.
(2) تابع sin x یك تابع متناوب است. هر عددی بصورت و دوره تناوب این تابع بوده و دوره تناوب بنیادی آن محسوب می‌شود(به موضوع شماره 1 بخش 13 مراجعه كنید.) بنابراین در رسم نمودار این تابع می‌توان آن را را ابتدا در بازه بسته با طول رسم كرده و سپس این نمودار را در امتداد محورxها با دوره تناوب تكرار كنیم، دلیل امر این است كه همه نقاطی به شكل:

مقادیری همسان به مقدار نقطه (x,siمقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي) بر روی منحنی تابع دارند.
(3) تابع sin x یك تابع فرد بوده و از اینرو نمودار آن نسبت به مبدا متقارن خواهد بود. در حقیقت به ازاء هر نقطه‌ای مانند (x, sin x) بر روی نمودار، نقطه (-x, -siمقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي)=(-x,sin(-x) كه بوسلیه كاربرد تقارن مركزی نسبت به نقطه (x, sin x) بدست آمده است روی نمودار مزبور واقع خواهد شد. در نتیجه برای رسم نمودار تابع در بازه كافی است كه آن را در بازه رسم كرده و سپس تقارن مركزی آن را نسبت به مبدا بنگاریم.

(4) درباره نمودار تابع با محور xها دارای دو نقطه مشترك (0,0) و است. بطور كلی تساوی sin x=0 با هم ارز محسوب می‌شود.
(5) تابع sin x در بازه افزایش و در بازه كاهش می‌یابد. این امر بدین معنی است كه اگر باشد آنگاه و اگر باشد آنگاه:
sin x1 sin x2 خواهد بود. از اینرو نتیجه می‌شود كه نقطه ماگزیمم تابع sin x است. حال نمودار تابع sin x را طی مراحل چندگانه رسم می‌كنیم.

0 (x)
0

1

0 Sin x

روی صفحه مختصاتی نقاطی به شكل (x, sin x) را كه در آن x اعدادی از جدول فوق است مشخص كرده و سپس آنها را روی یك خط خمیده بهم وصل می‌كنیم. تقارن مركزی این بخش از نمودار را نسبت به نقطه o (مبدا) پیدا می‌كنیم. سپس قطعه حاصله (یعنی قطعه قبلی و متقارن آن) از نمودار تابع را با دوره تناوب روی محور xها تكرار می‌كنیم. بدین ترتیب نمودار تابع sin x حاصل می‌شود. آن را منحنی سینوسی یا منحنی جیب‌نما می‌نامند.

در روش دیگر برای رسم نمودار تابع، محاسبه مقادیر منفرد تابع sin x لازم نمی‌شود. در این روش از دایره مثلثاتی استفاده می‌گردد. برای این منظور بازه را نصف می‌كنیم. توجه داشته باشید كه بعد از مشخص كردن نقطه روی محور xها همه ترسیمات دیگر بوسیله خط‌كش و پرگار انجام می‌گیرد.
توجه داشته باشید كه تابع siمقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي روی بازه‌ای به شكل: :
از 1 تا -1 كاهش می‌یابد. مقدار بیشینه siمقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي=1 در نقاط و و مقدار كمینه sin x= -1 در نقاط بدست می‌آید.
2- ویژگی‌ها و نمودار تابع f(x) =cos x.

نمودار تابع cos x با استفاده از اتحاد sin (x+ فرمول تحویل به بهترین روش ممكن رسم می‌شود. از این اتحاد استنباط می‌شود كه نمودار تابع sin x از انتقال نمودار تابع cos x به اندازه روی محورxها به طرف چپ حاصل می‌شود. در به ازاء هر نقطه‌ای مانند x) (x, sin از نمودار تابع sin x نقطه . روی نمودار تابع cos x قرار دارد . دلیل امر رابطه زیر است: عكس این نكته نیز درست است: به ازاء هر نقطه‌ای مانند (x,cosx) از نمودار تابع cos x نقطه روی منحنی تابع siمقاله تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي قرار دارد. دلیل این موضوع، است.

3- تابع cos x یك تابع زوج بوده و نمودار آن نسبت به محور عرض‌ها متقارن محسوب می‌شود: اگر نقطه (x,cosx) روی نمودار تابع cosx واقع باشد آنگاه نقطه نیز روی آن قرار خواهد گرفت.
4- COS X=0 به ازاء و
5- تابع COS X در هر بازه‌ای به شكل و از 1 تا -1 كاهش و در هر بازه‌ای به شكل از -1 تا 1 افزایش می‌یابد. به ازاء و مقدار بیشینه 1 را اختیار می‌كند.
2-4 محاسبه حدود.
تئوری حدود در تبیین مفاهیم اساسی پیوستگی و دیفرانسیل‌پذیری یك تابع و یافتن مشتق‌ها و انتگرال‌ها نقش اساسی دارد. ما با مسائلی از قبیل یافتن حدود تابعی برحسب عبارات مثلثاتی در نقاط معینی مواجه می‌شویم.

تعریف. فرض می‌كنیم كه تابع f(x) D تعریف شده باشد. نقطه a را طوری انتخاب می‌كنیم كه هر همسایگی آن نقاط بیشماری از D(f) را شامل شود. (این نقطه را نقطه انباشتگی یا نقطه حدی مجموعه D(f) نامیده می‌شود.) آنگاه عدد b حد تابع f(x) در نقطه a نامیده می‌شود با این شرط كه به ازاء هر عدد مثبت عدد مثبتی مانند 8 وجود داشته باشد بطوریكه به ازاء هر نقطه‌ای مانند كه در صادق است نامساوی برقرار باشد. حد یك تابع را بصورت زیر می‌نویسیم:

تعریف. تابع f(x) با شرط lim f(x)= f(a) در نقطه‌ای مانند پیوسته خوانده می‌شود.
قضیه 1-4 توابع sin x,cos x, tan x, cot

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید